Молекулы чернил

Допустим, мы берем обыкновенный дешевый струйный принтер и печатаем цифру 1 шрифтом в 12 пунктов. Сколько молекул красителя мы используем? Какое число нужно напечатать, чтобы количество потраченных молекул примерно ему равнялось?

— Дэвид Пелки

Это одна из тех задач, где пригодится оценка Ферми: пока нас не интересуют точные значения. Мы просто хотим еще до начала исследований получить представление о том, насколько большое число у нас выйдет. Будет ли в нем 10 знаков, 100 или тьма-тьмущая?

Посмотрим, что можно выяснить, не обращаясь к поиску.

Мы печатаем на струйном принтере черно-белые листы формата А4. Будем оптимистами: пусть одного картриджа нам хватит на несколько сотен страниц. Допустим, на каждой странице 500 слов по 5 букв — то есть 2 500 знаков. На сотне таких страниц — 250 000 знаков, а на четырех сотнях — 1 000 000. Так что число букв в одном картридже, скорее всего, шестизначное.

Далее, сколько в картридже молекул? Прикинуть это, не нарушив правило и не заглянув в поиск, будет сложнее, но давайте попробуем.

Кажется, я слышал про некое «число Авогадро» на уроках химии, но само число я не помню. Там точно было «что-то на 10²³», так что в нем 24 цифры. И вроде как это количество атомов в скольки-то граммах чего-то. Граммов было совсем не много. Вроде бы^[1].↲Для протокола: 6,022×10²³, и это количество атомов углерода-12 в 12 граммах углерода-12 (или количество атомов водорода в одном грамме водорода).

В струйном картридже тоже, скорее всего, не много граммов чернил^[2].↲Рассуждаем: будь их много, картриджи были бы тяжелыми. А если в них нет и грамма, одна только мысль о том, что мы платили за них по $30, слишком тосклива, чтобы допустить этот вариант.↳ Условимся, что столько же, потому что оценка Ферми разрешает так делать.

Я понятия не имею, из чего состоят чернила (нам нельзя подсматривать, помните?). Я знаю, что какие-то чернила есть у кальмаров, так что наверняка там не обошлось без больших и сложных органических молекул. Это плохо, потому что оценить их массу в рамках нескольких порядков я не в силах.

К счастью, нас больше всего волнуют самые мелкие молекулы, потому что именно они внесут наибольший вклад в общий счет.

В чернилах, вероятно, порядочное количество воды, как и во многих жидкостях. С другой стороны, сдается мне, что молекулы воды покидают их при высыхании — потому что именно это и означает слово «высыхать».

Нам ничего больше не остается, так что предположим наугад: пусть 10% объема чернил составляет огромное число небольших молекул, сравнимых по размеру с атомами [чего-то там углерода] в числе Авогадро. Раз в числе Авогадро 24 знака, то 10% от него — это 23-значное число. Если остальные догадки верны, тогда число молекул в чернильном картридже тоже может быть примерно 23-значным.

Раз в чернильном картридже 23-значное число молекул, и этот картридж печатает шестизначное число букв, тогда каждая напечатанная буква (или цифра) должна содержать число молекул с 23 − 6 = 17 знаками^[3].↲Мы тут занимаемся делением через вычитание числа знаков. Если вам понравился этот трюк, и вы решили разобраться в нем и сделать его чуть более научным и точным, примите мои поздравления! Вы только что изобрели логарифмы.

Это значит, что напечатанное десятизначное число содержит примерно 18-значное число молекул чернил, а 100-значное число содержит 19-значное число молекул. Ага! Точка пересечения, в которой число молекул равняется напечатанному числу, должна лежать где-то между 18 и 19 знаками.

Так что ответ, согласно оценке Ферми, находится где-то в окрестностях наибольшего 18-значного числа. Мы могли отклониться на несколько порядков в обе стороны, но в любом случае это точно такое число, которое уместится в одной строчке.

Ну а сейчас проделаем настоящее исследование и посмотрим, насколько мы были правы.

Чернила, что неудивительно, обладают сложным и разнообразным составом. Цветные чернила содержат множество крупных и массивных молекул, особенно пигментов. К счастью, дешевые черные чернила — о которых и спрашивал Дэвид — по составу проще.

Для примера мы возьмем чернила из первого попавшегося принтера HP у меня дома. HP не прилагают подробного состава чернил, но зато вот тут публикуют для них паспорт безопасности продукта.

В паспорте написано, что чернила более чем на 70% состоят из воды. А еще они содержат молекулы 2-пирролидона (который, по-видимому, используют для синтеза противоэпилептического средства этосуксимида) и 1,5-пентандиола.

Кроме того, они содержат до 5% «модифицированного технического углерода», разновидности кристаллического углерода (как графит и алмаз). Это прекрасные новости для нашей оценки, потому что кристаллический углерод обладает элементарной структурой; его молекулярная формула — просто «C»^[4].↲Принимая, что каждый атом считается отдельно. Вопрос Дэвида можно понять и так, что имеются в виду частицы чернил, так что каждый конгломерат атомов технического углерода будет считаться за 1. Но тогда придется выяснять, сколько именно воды остается в высохших чернилах и насколько масса 1,5-пентандиола влияет на результат, и так далее. А это предполагает еще больше вычислений.

Очень кстати «C» используется и в определении числа Авогадро. Небольшие картриджи широкого потребления содержат несколько граммов чернил, что меньше 12 граммов из определения числа Авогадро. Это делает нашу оценку примерно на ползнака больше. И хоть нам и повезло с выбором углерода, чернила HP содержат менее 5% технического углерода, а не 10%, как в нашем предположении, — что еще уменьшает правильный ответ по сравнению с нашей оценкой. Но вообще-то мы отлично справились!

Это, конечно, заставляет вспомнить о том, насколько проще цифровой мир:

^[5]↲Dinosaur Comic.

А еще это напоминание о том, насколько дороги чернила. И, кстати говоря, чернильный мешок крохотного кальмара Octopoteuthis deletron размером всего в несколько миллиметров, если верить таблице из этой публикации, при весе самого кальмара от силы в сотню граммов.

За 30 долларов можно купить несколько килограммов свежих цельных кальмаров, и заодно — если выбрать правильных кальмаров — чернил на пять или шесть картриджей.

Лайфхаки.