С горки от побережья до побережья

Что, если вся континентальная часть США была бы склоном, который убывает с запада на восток? Насколько крутым он должен быть, чтобы можно было съехать по нему на велосипеде, не крутя при этом педали?

— Брэндон Рукс

Крутым настолько, что построить его не получится. Лучше съездить на гавайский остров Мауи.

Сперва немного физики. Велосипед катится вниз по склону. Если склон достаточно длинный, велосипед достигнет определенной постоянной скорости пассивного движения. Она выше на крутом склоне и ниже — на пологом. Если же длины спуска недостаточно, велосипед замедлится и остановится.

Наименьший наклон, при котором велосипед продолжает катиться, определяется его коэффициентом трения качения. Собственно, этот наклон, выраженный отношением вертикального перепада к горизонтальному расстоянию, определяется невероятно просто:

$$ \text{Минимальный уклон} = \goodbreak \text{Коэффициент трения качения} $$

«Уклон равен коэффициенту трения»^[1]↲Трение скольжения и трение качения работают по-разному, но в этих типах задач коэффициенты равнозначны.↳ — довольно удобное общее правило в физике: коэффициент трения для объекта, находящегося на поверхности, есть просто предельно малый уклон, при котором объект скользит^[2].↲Коэффициент трения покоя есть уклон, при котором объект начинает скользить. Коэффициент трения движения (он обычно меньше) — это минимальный уклон, при котором объект продолжает скользить после того, как его подтолкнули.

Если вам повезло с велосипедом и условиями поездки, коэффициент трения качения может составить всего лишь 0,002 или 1/500^[3].↲Кое-какие тестовые данные можно посмотреть здесь.↳ Чтобы проехать в таких условиях 500 километров, нужен перепад высот не менее километра. От Нью-Йорка до Лос-Анджелеса чуть больше 4 тысяч километров — значит, начинать надо на высоте в 8 км, а это больше, чем самый высокий пик в Северной Америке. Советую захватить кислородные баллоны.

Но учтите — поездка затянется.

Коэффициент трения качения для велосипеда в основном зависит от деформации покрышки^[4]↲И почвы, если вы едете по грязи.↳^[5]↲А еще спиц и рамы, если ваш велосипед слеплен из мягкой глины или чего-то вроде того.↳^[6]↲Зачем вам велосипед из мягкой глины?↳ во время качения и почти не зависит от скорости. С другой стороны, при ускорении растет сопротивление воздуха, и, чаще всего, именно оно значительно тормозит движущийся велосипед. Чтобы определить скорость, с какой велосипед будет катиться по склону, нужно вычислить точку, в которой сопротивление воздуха сравнится с силой притяжения (благодаря ей велосипед движется вперед). Именно здесь он перестанет ускоряться. Для этого нам пригодится формула сопротивления воздуха:

$$ \text{Движущая сила притяжения} = \text{трение качения} + \text{лобовое сопротивление} $$

$$ m g \sin(\theta) = g \cos(\theta) C_т m + \tfrac{1}{2} C_л \rho A V^2 $$

$$ V = \sqrt{\frac{m g \sin(\theta) - g \cos(\theta) C_т m}{ \tfrac{1}{2} C_л \rho A}} $$

($V$ — скорость велосипеда, $C_т$ и $C_л$ — коэффициенты трения качения и лобового сопротивления, $\theta$ — угол склона, $g$ — ускорение свободного падения, $m$ — вес велосипеда и человека, $A$ — лобовая площадь велосипеда и человека, а $\rho$ — плотность воздуха.)

На очень пологом склоне — 0,2 или 0,3° — велосипед будет едва катиться и не разгонится быстрее пешехода. Чтобы скорость была комфортной для равновесия, нужно добавить несколько десятых градуса, но так лос-анджелесская вершина станет еще выше этих и так монструозных 8 километров.

В любом случае, велосипед — отличный выбор для спуска^[7].↲Поезда обладают очень низким коэффициентом трения качения, ведь у них стальные колеса, которые катятся по гладким рельсам. Чтобы определить их коэффициент, можно заглянуть в технические характеристики или провести неэмпирические расчеты, но умнее будет посмотреть соревнования силачей по перетягиванию поездов. После этого нужен небольшой расчет на основе предела человеческих возможностей и/или прямое измерение, и вы узнаете коэффициент на противоположном конце. Оказывается, вагоны — по крайней мере, те, что перетягивают силачи — практически не уступают велосипедам по коэффициенту трения качения.↳ Лыжи, например, хоть и скользят отлично, но их коэффициент трения примерно в 10 раз выше, чем коэффициент трения качения велосипеда.

Стартовая вершина для лыжной поездки из Лос-Анджелеса в Нью-Йорк должна быть в 10 раз выше, чем для велосипедной. Бедному лыжнику пришлось бы стартовать не с горы, а практически из космоса. Мало того, что подобный склон не построишь, так еще и лед нестабилен при таких температурах — не по чему будет скользить.

На практике самый длинный горизонтальный склон, по которому можно проехать на велосипеде, вряд ли протянется более чем на несколько сотен километров. Да и в этом случае понадобятся идеальные условия. Если вы хотите отправиться в максимально длинную поездку в реальной жизни, пожалуй^[8],↲Этот маршрут считается самым длинным, но вот что любопытно: нет ли более длинного пологого спуска в дебрях Монголии или где-то еще.↳ стоит спуститься с Халеакалы — вы начнете на высоте примерно в 3 километра и проедете 55 км до уровня моря без необходимости крутить педали.

Если у вас не получается поехать на Мауи, вот разные видео о прыжках в воду с велосипедом.