Машина с шариками

Моя 12-летняя дочь предлагает интересный проект. Она хочет привязать шарики с гелием к стулу, который, в свою очередь, будет привязан веревкой к Феррари. Ее 13-летняя подруга будет за рулем, а сама она будет сидеть на стуле и наслаждаться открытыми видами. Моя дочь жаждет узнать, на какую максимальную скорость ей рассчитывать и сколько ей понадобится шариков с гелием. Сложности с законом и страховкой можно не учитывать.

— Фил Роджерс, Кембридж, Великобритания

Спасибо, что дала папе отправить этот вопрос! Он говорит не беспокоиться о «сложностях с законом и страховкой», так что, думаю, можно спокойно предположить, что о них твой папа уже позаботился.

Заметка для полиции: если к вам недавно попали двое неопознанных несовершеннолетних водителей, угнанный Феррари и куча шариков с гелием, вам нужен Фил Роджерс из Кембриджа.

Ну хорошо, займемся твоим вопросом:

Ты когда-нибудь бегала с воздушным шариком? Он не висит прямо над тобой, сопротивление воздуха прижимает его вниз:

Высота, на которую поднимается шарик, зависит от того, что больше: сила выталкивания шарика, тянущая его вверх, или сила ветра, толкающая его назад. Если лобовое сопротивление воздуха слишком сильное, шарик останется прижатым к земле, и прекрасные виды тебе не откроются.

Для определения скорости нужно сначала выяснить, насколько велика должна быть гроздь шариков (или один большой шар — так, пожалуй, проще), чтобы тебя поднять.

В твоем возрасте люди весят в среднем 43 килограмма. Это означает, что понадобится шар 4 метров в диаметре, чтобы поднять тебя, то есть шар размером с машину. (Если ты весишь не 43 килограмма, можешь подставить свой вес в эту формулу.)

Четырехметровый шар достаточно велик, чтобы компенсировать твой вес. Но нам этого недостаточно. Это значит только, что ты не упадешь и не поднимешься в воздух, а будешь парить на буксире у самой земли.

Чтобы подняться вверх, понадобится шар побольше. 5-метровый шар даст 71 килограмм подъемной силы^[1]↲Обычно физики придают большое значение тому, что вес и сила отличаются от массы, но здесь я сдержу свой порыв, поскольку проще думать обо всем через веса.↳ (вот формула!). Этого хватит, чтобы уравновесить твои 43 килограмма, плюс несколько килограммов кресла и самого шара.

Шар будет оттягиваться назад воздухом. Чем быстрее твоя подруга едет, тем больше воздух тянет шар назад. Можешь использовать эту формулу, чтобы выяснить, сколько «веса» будет оттянуто назад для шара в зависимости от скорости и размера. Просто измени «30 kmh» (скорость) и «5 meters» (размер шара) в формуле.

Если тяга вверх, созданная гелием, сильнее, чем тяга назад из-за ветра, то шар будет парить под высоким углом. Если же назад тянет сильнее, чем вверх, то шар полетит под малым углом. Даже на скорости 15 км/ч пятиметровый шар будет лететь вслед за машиной довольно низко.

К счастью, есть решение: можно взять шар побольше. С увеличением шара плавучесть берет верх над лобовым сопротивлением^[2].↲Это потому, что в формуле плавучести диаметр возведен в куб, а в формуле лобового сопротивления — в квадрат. Так что, если увеличивать шар, плавучесть растет быстрее.

Если взять 10-метровый шар, подъемная сила будет достаточно большой, чтобы вы могли ехать со скоростью 30–40 км/ч и все еще оставаться довольно высоко над землей. 15-метровый шар будет даже лучше — он позволит тебе разогнаться до 50 км/ч, все еще сохраняя хороший обзор^[3].↲Можно сделать трос длиннее, чтобы даже малый угол давал хорошую высоту. Но трос не будет прямым: он образует дугу под названием цепная линия. Для достаточно малых углов удлинение троса приведет к тому, что часть его будет просто волочиться по земле.

К сожалению, есть проблема с тем, чтобы делать шары все больше и больше.

Пятнадцатиметровый шар с гелием и 12-летней девочкой могут поднять 1 895 килограмм. А Ferrari 458 (плюс 13-летняя девочка) весят всего 1 532 килограмма.

Все можно уладить, отказавшись от гелия. Шарик тебе не нужен. Все, что нужно, это кайт или парашют — то есть поверхность, которая сработает как крыло и заставит встречный воздух вытолкнуть тебя вверх.

Словом, намекни папе на парасейлинг.